评价类数学模型总结
小小总结，希望以后对自己有帮助
权重系数确定的方法
题设：n个评价对象，m个评价指标观测值为 \[ a_{ij}\quad(i=1,2,...n;j=1,2,..,m) \]
\[ \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}&...&a_{1,m}\\\\a_{21} & a_{22}&...&a_{2m}\\ \vdots&...&...&\\a_{n1} & a_{n2}&...&a_{nm}\end{bmatrix} \]
均方差法
\[ \mu_j=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\qquad s_j=\sqrt{\frac{1}{n}(a_{ij}-\mu_j)^2}\\ \]
\[ \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\\vdots\\a_{nm}\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}\mu_1&\cdots\mu_m\end{bmatrix}\longrightarrow \begin{bmatrix}s_1&\cdots&s_m\end{bmatrix}\\ \]
\[ w_j=\frac{s_j}{\sum_{k=1}^{m}s_k}(j=1,2,3,4...m)\\ \]
\[ \begin{bmatrix}w_1& w_2&\cdots w_m\end{bmatrix} \]
极差法
\[ r_{j}=\max _{1 \leq i<k \leq n}\left\{\left|a_{i j}-a_{k j}\right|\right\}(j=1,2, \cdots, m)\\ \]
\[ \max_{every element}\begin{bmatrix}rand(a_{i1}-a_{k1})&\cdots&rand(a_{ij}-a_{kj})\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}r_1&r_2&\cdots&r_m\end{bmatrix} \]
所以第\(j\)项指标的权重系数为 \[ w_{j}=\frac{s_{j}}{\sum_{l=1}^{m} r_{k}}(j=1,2, \cdots, m) \]
熵值法
特征比重：
在\[\mu_j=\sum_{i=1}^{n} a_{i j}>0\],第\(j\)项指标的特征比重为 \[ p_{i j}=\frac{a_{i j}}{\sum_{i=1}^{n} a_{i j}}(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m) \]
\[ \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\end{bmatrix}\cdots\begin{bmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\\vdots\\a_{nm}\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}\mu_1&\cdots\mu_m\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots&p_{1m}\\p_{21}&\cdots&p_{2m}\\\vdots&\cdots&\\p_{n1}&\cdots&p_{nm}\end{bmatrix} \]
第\(j\)项的熵值为： \[ e_{j}=-\frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^{n} p_{i j} \ln p_{i j}(j=1,2, \cdots, m) \]
\[ \begin{bmatrix}p_{11}&\cdots&p_{1m}\\p_{21}&\cdots&p_{2m}\\\vdots&\cdots&\\p_{n1}&\cdots&p_{nm}\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}e_1&\cdots&e_m\end{bmatrix} \]
不难看出，如果第\(j\)项指标的观测值差异越大，熵值越小；反之，熵值越大。
计算第\(j\)项指标的差异系数为 \[ g_{j}=1-e_{j}(j=1,2, \cdots, m) \] 如果第项指标的观测值差异越大，则差异系数\(g\)就越大，第\(j\)项指标也就越重要。
第\(j\)项的权重系数为 \[ w_{j}=\frac{g_{j}}{\sum_{k=1}^{m} g_{k}}(j=1,2, \cdots, m) \] 参考文章: