出租车载客模型

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数学建模.Are you kidding me ? 😭我要疯了！

问题分析

  • 司机去等候区等候，需要一定的时间，等待时间取决于出租车和乘客数量
  • 不载客人出机场，直接去市区把客人拉回来，但是空载费用和潜在用户的损失
  • 已知：蓄车池车的数量，司机个人的判断(决策)，航班的数量，人数

问题一

  • 分析影响司机决策的因素，其与乘客数量，不同情况的收益，选出最优决策

  • 因素确定：

    时间\(T_0\in[T_1,T_2]\)航班总数\(N_{f2}\),人数为\(M_{p2}\).

    出租车总数，等待时间不超过预期\(N_{taxi}\),选择等待

    空载率\(\beta\)和机场通行率,空载率越低，载客的可能性越高，更倾向于半路接客，通行能力为\(v_{leave}\),是指单位时间内通过出租车载客离开的组数

    机场与市中心的距离\(L\),距离越大越倾向等待，时间的等待上线提高

    航班载客数： \[ U(M_1,M_2)=\begin{cases}0&M_0\notin[M_1.M_2]\\\frac{1}{M_2-M_1}&M_0\in[M_1,M_2]\end{cases} \]

    \[ M_p=M_{p1}+M_{p2}\\ M_{p1}=\sum_{i=1}^{N_{f1}}M_{0i},M_{p2}=\sum_{i=1}^{N_{f2}}M_{0i} \]

    \(N_{f1}\)为为时间\([T_1,T_0]\)内机场的预计滞留人数，\(N_{f2}\)为时间\([T_0,T_2]\)内机场来的人数

    其中\(M_{p1}\)为司机估计的机场滞留人数，\(M_{p2}\)为司机估计机场抵达人数

    里程：假设里程正态分布 \[ \xi(x)\sim N(\mu,\sigma^2) \] 概率密度图为

    收入

    计价规则： \[ \begin{cases}p_0&x\le a\\p_0+p_1(x-a)&a<x\le b \\p_0+p_1(b-a)+p_2(x-b)&x>b\end{cases} \] 时间成本：

    ​ 空载: \(C_{free}\)

    ​ 等待：\(C_{wait}\)

    等待时间成本\(M_{plain}\)为时间段内机场乘客选择乘坐出租车的总数，与机场的总乘客数\(M_p\)成比例关系，即\(M_{plain}=\mu_1M_p\),\(\mu_1\)为机场乘客选择出租车的比例。 \[ t_{wait}=\frac{M_{plain}}{v_{leave}} \] 总出行人数除以单位时间出行人数

    ​ 出租行驶载客:概率\(\gamma=1-\beta\).司机载客时间为\(L_{pa}=L_{drive}\cdot\gamma\),其中时间成本的具体表达式为: \[ C_{time}=C_{wait}+C_{free}=G(L_{paw})+G(L_{paf})\\L_{paw}=t_{wait}\cdot v_{taix} \cdot \gamma;L_{paf}=t_{free}\cdot v_{taix}\cdot \gamma \] \(G(L_{paw}),G(L_{paf})\)为等待和空载的计价收入

    成本

    \[ C_g(x)=A \cdot S_{gax}\cdot x \]

  • 方案确立

  • 等待 \[ W_1=G(x)-C_g(x)-C_{time}\\ =G(x)-C_{g}(L)-G\left(t_{\text {wait }} v_{\text {taxi }} \gamma\right)-G\left(t_{\text {free }} v_{\text {taxi }} \gamma\right)\\ t_{\text {free }}=\frac{L-x}{v_{\text {taxi }}} \]

空载时间为总路程减去载客路程除以汽车的速度，

  • 空载 \[ W_2=-C_g(x)-C_{time}=-C_g(L)-G(t_{free}v_{taxi}\gamma)\\ t_{free}=\frac{L}{v_{taxi}} \]

  • 模型求解

    假设参数，\(L=25.1km\).出租车的空载率为\(\beta=0.4\)，车速为\(v_{leave}=1\)。出租车出行占总人数比例为\(\mu_1=0.3\),平均同行人数为\(\mu_2=2\),后期设置一般数据验证

问题二

  • 选一个机场，给出司机的选择(司机的决策(数据))说出合理性和因素的依赖性

  • 数据收集

    北京首都机场

  • 表格数据

    类型 9~10 10~11 11~12
    忙季(节假日) 30 27 15
    淡季(工作日) 1 3 3

  • 价格 \[ 晚上：G(x)\left\{\begin{array}{lc} 13, & x \leq 3 \\ 13+2.76 \times(x-3), & 3<x \leq 15 \\ 13+2.76 \times 12+2.76 \times 1.5 \times(x-15), & x>15 \end{array}\right. \]

    \[ 早上：G(x)=\left\{\begin{array}{lc} 13, & x \leq 3 \\ 13+2.76 \times(x-3), & 3<x \leq 15 \\ 13+2.76 \times 12+2.76 \times 1.5 \times(x-15), & x>15 \end{array}\right. \]

    代入数据，可以得到闲暇时期和忙碌时期的不同图像

    然后可以根据排队方案一的收益

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    不同距离和行驶的速度也因为时间成本是不一样的得到的收益

问题三

  • 有两条道路，如何安排让乘客和司机的等待时间最小

  • 建立模型:

    目标函数：乘车效率

    决策变量：上车点数

    环境参量：单位时间，达到机场的平均出租车数和平均人数为\(\alpha_1\),\(\lambda_1\)为到达机场的人数，\(\lambda_2\)平均每分钟到达机场的乘客数，\(\alpha_1=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\);

    模型：

    \[\begin{aligned}max \quad\eta=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\frac{t_{pi}}{n}+\sum_{j=1}^{m}\frac{t_{cj}}{m}}\\s.t.\quad k\le12\end{aligned}\]

    求解

问题四

  • 收益和里程成正比，对于短途的载客给予优先权，使得大家的工资尽量均衡，该如何给其优先权,注意这里假设的长途和短途的定义

  • 短途

\[ \begin{aligned} &\beta_{\text {short }}=\frac{m / v_{\text {leave }}+x_{\text {share }} / v_{\text {tax } i}+m_{0} / v_{\text {leave }}}{L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+x_{\text {short }} / v_{\text {taxi }}+x_{\text {short }} / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}+L / v_{\text {taxi }}} \\ &\qquad=\frac{m / v_{\text {leave }}+x_{\text {short }} / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+2 x_{\text {taxi }} / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}} \\& W_{\text {short }}=\frac{2 W_{L}+W_{x}}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+2 x_{\text {short }} / v_{\text {taxt }}+m_{0} / v_{\text {leave }}} \end{aligned} \]

  • 长途

\[ \beta_{long}=\frac{m/v_{leave}}{2L/v_{taxi}+m/v_{leave}}\qquad W_{long}=\frac{2W_L+W_{city}(T)}{2L/v_{taxi}+m/v_{leave}+T} \]

  • \(\epsilon_1\)和\(\epsilon_2\)为权重因子,\(\Delta\beta_{max}\)和\(\Delta W_{max}\)为归一化因子，变量计算方法如下: \[ \begin{aligned}\min \quad g\left(m_{0}\right)=\varepsilon_{1}\left(\frac{\beta_{\text {l0ng }}-\beta_{\text {short }}}{\Delta \beta_{\max }}\right)^{2}+\varepsilon_{2}\left(\frac{W_{\text {long }}-W_{\text {short }}}{\Delta W_{\max }}\right)^{2}\\\begin{cases} \beta_{\text {short }}=\frac{m / v_{\text {leave }}+x / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+2 x / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}} \\ W_{\text {short }}=\frac{2 W_{L}+W_{x}}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+2 x / v_{\text {taxi }}+m_{0} / v_{\text {leave }}} \\ \beta_{\text {long }}=\frac{m / v_{\text {leave }}}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}} \\ W_{\text {long }}=\frac{2 W_{L}+W_{\text {city }}(T)}{2 L / v_{\text {taxi }}+m / v_{\text {leave }}+T} \end{cases}\end{aligned} \]

计算即可

代码